εr,εθ σ سختی خمشی ورق ماتریس تنش- کرنش مدول الاستیسیته
ماتریس سختی خمشی ماتریس سختی هندسی توابع شکل
ضخامت ورق
میدان جابه جایی در جهت r میدان جابه جایی در جهت z D
Db
E
Kb
KG
N t
u
w

١- مقدمه
آزمایشات وتجربیـات نـشان داده اسـت کـه رفتـار بعـد ازکمانش ورقها با رفتار بعد از کمانش ستونها متفاوت اسـت، بـهطوری که بار بحرانی برای یک ستون را میتوان بـه عنـوان بـارنهایی در نظر گرفت ولی یک ورق نازک بعـد از کمـانش خـودمیتواند باری به مراتب بزرگتر از بار بحرانی خـود را کـه درآنبار کمانش شروع میشود تحمل کند؛ که علـت ایـن امـر مهـمرفتار غشایی و تغییر شکل ورق به سمت یک سطح ناگستردنیاست که مورد اخیر نیز به نوعی رفتار غشایی محـسوب شـده وبه طور خلاصه میتوان رفتار غشایی را به عنوان عاملی در کناررفتار خمشی ورق مؤثر دانست.
طبیعتﹰا مقاومت چشمگیر پس از کمـانش صـفحات، دسـتاندرکاران علوم مهندسی وصنعتی را در این فکر فرو میبرد کـهدر مورد سازههایی که در آنها محدودیت وزن وجود دارد ماننـدهواپیمــا، ســفینه هــای فــضایی، میکروســویچها و تیــر ورقهــا حتی المقدور از ظرفیت یا استحکام بعـد از کمـانش آن اسـتفادهشود. مقاومت بع د از کمانش ورقها دارای چنان اهمیتی است کهگفته میشود اگر در طراحی بدنه هواپیما از این مقاومت استفادهنمیشد هیچ هواپیمایی قادر به بلند شدن از زمین نبـود. تحلیـلچنین رفتاری که بعد از کمانش به وقوع میپیوندد با فرمولبندی مسئله در تغییر شکلهای بزرگ امکانپذیر است.
را برای مقادیر مختلف ضخامت و سختی بـستر الاسـتیک ارائـه توانی به بررسی رفتار بعد از کمانش ورقهای لایه لایـهای مـدورکردنـد. رائـو و راجـو [١٠] ١٩٨٧ بـا اسـتفاده از روش اجـزای در حالت متقارن پرداخت و میزان رهایی انرژی در حالتهای قبل
بنا به دلایل فوق در مـورد اهمیـت مـسئله مقاومـت بعـد ازکمانش صفحات، تحقیقات دراین خصوص از سال ١٩١٠ شروعشد و تا کنون در این زمینه پیشرفتها ی قابل توجهی حاصل شـدهاست. ورق مربع مستطیل با تکیه گاه ساده کـه از اطـراف کـاملامهار شده باشد، به علت سادگی در هندسه و درونیابی میـدانهای جابهجایی از جمله اولین مسائل تحقیقاتی است که در این زمینـهانجام شده ؛ و ارجاع به کتابهای نظریه صفحات و پوستهها ماننـدتیموشنکو [١و٢]، یوگرال [٣]، ردی [۴] و داگلاس [۵] خواننـدهرا به تاریخچه موضوع آشنا میسازد. رائو و راجـو [۶] ١٩٧٨ بـااستفاده از روش اجزای محدود به بررسی رفتار بعـد از کمـانشورقهای مـدور ایزوتروپیـک، بـا شـرایط تکیـه گـاهی مفـصلی وگیردار، تحت بارگـذاری یکنواخـت شـعاعی پرداختنـد. ردی وهمکاران [٧] ١٩٨٠ با استفاده از روشتفاضل محدود رفتار بعـداز کمانش ورقهای حلقوی ایزوتروپیک و اورتوتروپیک را تحتاثر بارگذاری یکنواخت شـعاعی در داخـل وخـارج، بـا شـرایطتکیهگاهی مختلف مورد بررسی قرار دادند. دومر و همکاران [٨] ١٩٨۴ با استفاده از روشترتیب نقاط متعامد به تحلیل رفتار بعداز کمـانش ورقهـای حلقـوی اورتوتروپیـک در حالـت متقـارن پرداختند و نتایج خود را برای حالتهای مختلـف شـرایط مـرزیارائه کردند . رائو و راجو [٩] ١٩٨۵ بـا اسـتفاده از روش اجـزای محــدود بــه بررســی رفتــار بعــد از کمــانش ورقهــای مــدورایزوتروپیک، با در نظر گرفتن اثـر بـرش، تحـت اثـر بارگـذارییکنواخت شعاعی، بر روی بستر الاستیک پرداختند و نتایج خـودورقهای مدور با تغییـر ناگهـانی ضـخامت (پلـه ای) تحـت اثـربارگذاری یکنواخت پرداختنـد و نتـایج خـود را بـرای حالتهـایمختلف شرایط مرزی ارائه و مشاهده کردند که اندازه پلـه تـأثیرب سیار مهم ی در کم انش و رفت ار بع د از کم انش ورق دارد.
همچنین ایشان [١۵] ١٩٩۴ با استفاده از روش اجزای محدود بـهبررسی رفتار بعد از کمانش ورقهـای مـدور ایزوتروپیـک، بـا درنظر گـرفتن اثـر بـرش، بـر روی بـستر الاسـتیک کـه در مقابـلچرخش مقاومت میکند را در حالتهای ورق تحت اثر بارگذاریو دمای یکنواخت شعاعی مورد بررسـی قـرار دادنـد. ازهـری وهمکاران[١۶] ١٩٩۵ با استفاده از روشنوار محدود رفتار بعـدازکمانش ورقهای مربع مستطیل با شـرایط مـرزی مختلـف مـوردبررسی قرار دادند. وانگ [١٧] ١٩٩٨ با استفاده از روش سریهای
مح دود ب ه بررس ی رفت ار بع د از کم انش ورقه ای حلق ویایزوتروپیک، تحت بارگذاری یکنواخت شعاعی در داخل حلقـهپرداختند. راماچاندرا و همکاران [١١] ١٩٨٩ با اسـتفاده از روشاجزای محدود به بررسی کمانش و رفتار بعد از کمانش ورقهـایمدور و حلقوی تحت اثر بارگذاری یکنواخت شعاعی پرداختند،در تحقیق ایشان از مادهای که رفتارش در کشش و فشار متفاوتبود استفاده شده است و آنها نتایج خود را برای حالتهای مختلفشرایط مرزی ارائه کردند. رائو و راجو [١٢] ١٩٩١ با اسـتفاده ازروش اجزای محدود به بررسی رفتـار بعـد از کمـانش ورقهـایمدور ایزوتروپیک، تحت اثر دمای یکنواخـت شـعاعی، بـر رویبستر الاستیک که در مقابل چرخش مقاومت میکند، پرداختنـد ونتایج خود را بـرای مقـادیر مختلـف ضـخامت و سـختی بـسترالاستیک ارائه کردند. رائو و راجو [١٣] ١٩٩١ با استفاده از روشاجزای محدود به بررسی رفتار بعـد از کمـانش ورقهـای مـدوراورتوتروپیک، در حالت متقارن، بر روی بـستر الاسـتیک کـه درمقابل چرخش مقاومت میکند را بررسی و نتایج خـود را بـرایحالتهای مختلف بستر ارئه کردند. همچنین ایشان [١۴] ١٩٩٣ بـااستفاده از روش اجزای محدود به بررسی رفتار بعـد از کمـانشو بعد از کمانش برای وقتی که ورق دارای یک ترک ریـز اسـترا محاسبه کرد. برادفورد و همکـاران [١٨] ١٩٩٨ بـا اسـتفاده ازروشگالرکین به تحلیل رفتار کمانشی ورقهای مربع مـستطیل ومثلثی پرداختنـد و بـ
ار بحرانـی را بـرای آنهـا محاسـبه نمودنـد.
سعادتپور و همکاران [١٩] ١٩٩٨ بـا اسـتفاده از روش گـالرکینتحلیل استاتیکی غیرخطی ورقهای مربـع مـستطیل بـا تکیـهگـاهمفصلی را مـورد بررسـی قـرار دادنـد. شـهیدی [٢٠] ٢٠٠٠ بـااسـتفاده از روش گـالرکین تحلیـل رفتـار بعـد از کمـانش ورق متوازی الاضلاع و یا چهـار ضـلعی دلخـواه را بـا شـرط مـرزیمفصلی مورد بررسی قرار داد. وانـگ [٢١] ٢٠٠٠ بـا اسـتفاده ازروش سریهای توانی به بررسی رفتار بعد از کمانش ورق مـدوردر حالت متقارن پرداخت و پدیدهکمانش ثانویه را مورد مطالعـهقرار داد و در انتها بار بحرانی را برای این حالـت محاسـبه کـرد .
سین و پائول [٢٢] ٢٠٠٣ با استفاده از روش ریلی – ریتـز تغییـرشکل متقارن بزرگ ورق در حالت اسـتاتیکی بـرای ورقهـای بـاهندسه های زیر مورد بررسی قرار دادند :
ورق مربعی با سوراخهای مربع و مدور در مرکز
ورق مدور با سوراخهای مربع و مدور در مرکز
3240025-761

بزرگ میشود و کشیدگی در میان صفحه ورق به وجود مـیآیـددیگر از نظریه تغییر شکلهای کوچک کیرشـهف-لاو١ نمـی تـواناستفاده کرد و بایـد بـه سـراغ نظریـهای رفـت کـه بتوانـد تغییـرشکلهای بزرگ الاستیک را مدل کند کـه در ایـن مقالـه از نظریـه ون-کارمن٢ یرای این منظور استفاده و فرمولبندی مـسئله بـر ایـناساس انجام شده است. نکته مهمی که در اسـتفاده از ایـن نظریـه باید به آن توجه کرد، محدود بودن جابهجاییها است به طوری کهشکل ١ در این نظریه برای نسبت ماکزیمم خیز به ضخامت ورق کمتـر از ٢ جوابها مورد قبول اسـت و بـرای بیـشتر از ایـن نـسبت دیگـر
آنها نتایج خود را در مقایسه با اجزای محـدود بـسیار دقیـقنمی توان از این نظریه استفاده کرد [٣].
دیدنــد. وانــگ و همکــاران [٢٣] ٢٠٠٣ بــا اســتفاده از روش
شوتینگ به بررسی خمش و رفتار بعداز کمانش ورقهای مـدوراز جنس اف جـی ،ام تحـت اثـر بارهـای گرمـای ی و مکـانیکیمتقارن پرداختند و یکی از نتـایج آنهـا ایـن بـود کـه ایـن مـادهمقاومت بیشتری نسبت به فلزات در مقابل خمش از خود نشانمیدهد. یانگ پینـگ و همکـاران [٢۴] ٢٠٠٣ بـا ترکیـب روش نیوتـون و هارمونیـک بـالانس روش تحلیلـی تقریبـی را بـرای تحلیـل رفتـار بعـداز کمـانش ورق حلقـوی تحـت اثـر فـشار یکنواخت هیدرواستاتیکی پایه گذاری کردند و نتایج خود را درمقایسه با حـل دقیـق بـسیار عـالی دیدنـد. ازهـری، شـهیدی وسعادتپور [٢۵] ٢٠٠۴ بـا اسـتفاده از روش ریلـی- ریتـز رفتـاربعـداز کمـانش ورقهـای مربـع مـستطیل بـا تغییـرات ناگهـانی ضخامت و شرایط تکیهگـاهی مختلـف را مـورد بررسـی قـراردادند. وانگ و همکاران [٢۶] ٢٠٠۵ برای معـادلات سـه بعـدی٢- دستگاه مختصات
در بسیاری از مسائل مکانیـک محیطهـای پیوسـته کـه درعمل با آن مواجهایم، شکل هندسی سیستم مـورد مطالعـه بـهگونهای است که تحلیل مسئله در دستگاه مختصات کارتزین،مشکل و شاید ناممکن باشد . لذا انتخاب دسـتگاه محورهـایمختصات دیگر ضروری است. به عنوان مثال در حل ورقهایدایرهای از دستگاه مختصات قطبی استفاده میشـود . ولـی دراین مقالـه بـرای سـادگی بیـشتر در محاسـبات و اسـتفاده ازانتگرالگیری عددی بـه روش گـوس، از دسـتگاه مختـصاتطبیعی که بین- ١تا ١ تغییر میکند استفاده شده؛ که بااستفادهاز یک نگاشت به صورت رابطه (١) ارتبـاط بـین دو دسـتگاهمشخص میشـود . مراحـل نگاشـت در شـکل (١) مـشخصاست.
حاکم بر رفتار کمانشی ورق، حلی مناسـب ارائـه کردنـد و بـاربحرانی را برای ورق با شرایط مرزی مفصلی و گیردار محاسـبهکردند.
هدف از انجام این مقالـه تحلیـل رفتـار بعـداز کمـانش ورقمـدور تحـت اثـر بارگـذاری یکنواخـت شـعاعی داخـل سـطح (In-plane) با استفاده از روش ریلی- ریتز است کـه در حالتهـایمخنلف این بارگـذاری بـر روی مـرز داخلـی یـا خـارجی قـرارمیگیرد. در تحلیل رفتار بعداز کمانش بهدلیل اینکه تغییـر شـکلها
r =

a2(1−ξ +)

b2(1+ξ)θ=π(1+η) (١)

٣- درونیابی میدانهای جابه جایی و توابع شکل
327676833632

میدانهای جابهجایی در میان تار ورق دارای دو مؤلفه مستقلجابه جایی w,u به ترتیب در امتدادهای, z, r هستند که به شکل زیر بیان میشود (٢) Up = u w T با استفاده از توابع درونیابی مناسب، میدان جابهجایی به صورتزیر درونیابی می شود
n u

Nui uˆi
n (٣)
w =∑ Nwi wˆ i
=i 1 که در روابط فوق ˆ ˆw,u مختصات تعمیم یافته نامیده می شـوند .
همچنـین Nui توابـع شـکل داخـل سـطح و Nwi توابـع شـکل خ ارج س ـطحاند. در ادام ه رابط ه (٣) به ش کل ماتریسی زیر
⎨⎧ ⎫wu⎬=∑n ⎡⎣⎢N0uiN0wi ⎤⎥⎦⎨⎩⎧wuˆˆii ⎬⎭⎫ (۴)
⎩ ⎭i 1=
و یا به صورت زیر بازنویسی میشود
n
Up =∑ Ni ∆i (۵)
=i 1 همچنین در حالت کلی می توان نوشت (۶) ∆Up = N
توابع شکل بهکار رفته در خارج از سـطح در جهـت شـعاعیξ شامل ده تابع چند جملهای بوده که چهـار تـابع اول آن، توابـع هرمیت درجه سه هستند که در شرایط مـرزی مختلـف، ممکـناست تعدادی از آنها حذف شوند. شش تابع دیگـر نیـز از نـوعتوابع شکل طبقاتیاند که در مختصات طبیعی از فرمول کلی زیرتبعیت میکنند.
r
664464-109914

N ( )r ξ =∑2 ( 1) (2− nnr −2n −7)!!( )ξ r 2n 1− − (٧)

توابع شکل بهکار رفتـه در داخـل سـطح در جهـت شـعاعی ξ شامل ده تابع چنـد جملـهای بـوده کـه دو تـابع اول آن، توابـعلاگرانژ مرتبه اول بوده کـه در شـرایط مـرزی مختلـف، ممکـناست یکی از آنها حذف شود. هشت تابع دیگر نیز از نوع توابعشکل طبقاتی اند[٢٨].

۴- فرمولبندی مسئله بر اساس روش ریلی- ریتز
۴-١- کمانش

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

انـرژی کرنـشی ناشـی از خمـش ورق بـا شـعاع داخلـی a وخارجی b را می توان به صورت زیر بیان کرد[٢] (٨) Ub =

12 ∫∫A κTDb κ dA
که در آنDb ماتریس تنش کرنش مسئله ورق بوده که به شـکلزیر نوشته می شود:
Db = 12(1

Et−ν3 2) ⎡⎢⎣ν1 ν1⎤⎥⎦ (٩)
که ν ضریب پواسون و t ضخامت ورق و E مـدول الاستـسیتهمیباشد. همچنین بردار انحنا در میان صفحه ورقκ به صورتروابط زیر ارائه میشود
⎡∂2⎤


⎧κr ⎫ ⎢0∂r2⎥⎧ ⎫u κ =⎨⎪⎪κ ⎪⎬=⎢⎢⎥⎥⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪w (١٠)


85802869342

⎩ θ⎭ ⎢⎢01r ∂∂r + r12 ∂θ∂22 ⎥⎥⎦⎩ ⎭
⎣با جاگذاری رابطه (٧) در رابطه فوق داریم
κ = L Ubp = L Nb ∆= Bb∆ (١١)
که در رابطه فوق Bb , Lb به ترتیب اپراتورهای مـشتق گیـری دررفتار غشایی و ماتریس حاصل از اثر آن بر توابع شکل هـستند.
حال میتوان معادله (٨) را به شکل زیر بازنویسی کرد (١٢) ∆Ub =

12 ∫∫A ∆T TB D Bb b b∆ dA =

12∆T Kb که در آنKb ماتریس سختی خمش ورق، به صورت زیـر بیـانمی شود
Kb = ∫∫A B D B dATbbb (١٣)
کارانجام شده ناشی از بار شعاعی Nr وارد شده به میان صفحه را می توان به صورت زیر نوشت
⎡ ∂w ⎤

⎢ ∂r ⎥
W

⎣⎦⎢⎡⎣θ⎥⎤⎦⎢⎢⎢1 ∂ ⎥⎥⎥dΩ (١۴)


⎣r ∂θ⎦
که در رابطه فوقσθ , σr مقادیر تنشهای داخل سطحانـد کـهبرای ورق تحت فشار خـارجی بـه صـورت زیـر و بـرای ورقتحت فشار داخلی به صورت رابطه(١۶) تعریف میشوند[٢٩]
2 22
367284107565

σ =r a b Nro 1 − b Nro b22 2−a2 r2 b2 −2a2 (١۵)
467868141992

a b N1b N σ =−θro −ro
b2 −a2 r2b2 −a2
454914115313

σ =−ra b N2 2ri 1 + a N2ri
2 2b2 −a2 r2b22 −a2 (١۶)
380238140626

a b N1a N σ =θri +ri
b2 −a2 r2b2 −a2
که در روابط فوقNri و Nro بـه ترتیـب نیروهـای داخلـی وخارجی بر واحد طول وارد شده به میان صفحهاند. با استفاده از تعریف ماتریس مشتقات توابع شکل در رفتار کمانشی به شـکلزیر
⎡∂ ⎤
0

15392479888

⎢⎢⎢1∂r ⎥⎥⎥⎨ ⎬⎧ ⎫⎩ ⎭wu = BG∆ (١٧)
⎢⎣r ∂θ⎥⎦
رابطه (١۴) به صورت زیر بازنویسی میشود (١٨) ∆W =−

12 ∫∫Ω ∆T TBGσBG∆ dΩ =

12∆T KG که در آنKG ماتریس سـختی هندسـی بـوده و بـه شـکل زیـرمحاسبه می شود
KG = ∫∫A BGT σBG dA (١٩)
که در روابط فوقσ ، ماتریس شامل مؤلفههای تنش داخل سطحاست. انرژی پتانسیل کل ورق ناشی از نیروهای خارجی وارد بهمیان صفحه و خمش به شکل زیر بیان می شود (٢٠) ∆Π = Ub −W =

12∆T Kb∆-

12∆T KG
بر اساس روش ریتز، بـرای برقـراری تعـادل، تغییـرات انـرژیپتانسیل ارائه شده در رابطه فوق به صورت زیر و مساوی صـفراست
δΠ δ= U+δW =δ∆T (Kb −KG )∆= 0
با توجه به اختاری بودن ∆δ رابطه فوق به شـکل رابطـه زیـرنوشته میشود
(Kb −λKG)∆=0
رابطه فوق یک مسئله مقدار ویژه است که با حل آن،λ می نیمم مقدار ویژه بار بحرانـی ورق و بـردار ویـژه نظیـر آن، مـود اولکمانشی است. ارتباط بار بحرانـی بـا ضـریب بـار بحرانـی بـهصورت زیر است.
Ncr =λcr

bD2

۴-٢- رفتار بعداز کمانش
۴-٢-١- میدان جابه جایی هوکین
میدان جابهجایی هوکین دراکثر موارد کاربردهـای صـفحاتنازک در صنعت، سـخت کننـدههـایی روی جـداره آنهـا تعبیـهمیکنند که موجب افـزایش تـوان بـاربری ورق مـیشـود . ایـنسخت کنندهها ممکن است شامل صفحات ضخیمی باشد که بهورق جوش شدهاند و یا میتواند لبـه تاشـده خـود ورق باشـد.
عمدتﹰا سختی این سخت کنندهها در مقابـل سـختی ورق بـسیارزیاد است به طوری که میتوان برای تحلیل رفتار پس ازکمانشصفحات فرض را بر این گذاشت که صفحه ازاطراف به قطعاتصلب متصل است و یا حداقل بار از طریق قطعـات صـلب بـهورق منتقل میشود که بسته به نوع محل قرار گرفتن این سختکنندهها مسائل متفاوتی مطرح میشود. با توجه به این که عمدتﹰادر کاربرد صفحات نازک درصنعت بار از طریق سخت کنندههـابه ورق منتقل میشود میتوان برای تحلیل رفتار بعد از کمـانشصفحات کنترل مسئله را روی جابهجاییهای مرزی که به میـدانجابه جایی هوکین معروف است قرار داد.
درتحلیـل رفتـار بعـد از کمـانش بـه علـت اینکـه خیـز یـاجابهجاییها بزرگتر از ضخامت ورق میشوند، دیگر نمی تـوان ازتنش و کرنش که در میان صفحه بهوجود میآید صرف نظر کـرد.
پس با تعریف انرژی کرنشی ناشی از کشیدگی میان صـفحه دررابطه (٢۴) به ادامه فرمولبندی مسئله میپردازیم[١] (٢۴) Um

(
)
2
2
2
A
Et
2(1
)
θ
θ
ε+ε+νεε
=
−ν
∫∫

  • 1

پاسخ دهید